در این فصل برخی مفاهیم و نتایج در مورد مجموعه‌های ناهموار و مجموعه‌های ناهموار (فازی) كه در سایر فصول مورد استفاده قرار می‌گیرد را ارائه می‌كنیم.

برای كسب اطلاعات جامع‌تر در مورد این مفاهیم به [2] و [3] و [6] و [1] و [15] مراجعه شود.

2-1- مجموعه‌های ناهموار

1-2-1- یادآوری

– به گردایه‌ای از اشیاء دوبدو متمایز مجموعه گوئیم.

– اگر A,B دو مجموعه باشند به  ضرب دكارتی A در B گوییم.

– هر زیر مجموعه‌ی   یك رابطه از  A به B نامیده می‌شود. اگر A=B باشد، به هر زیر مجموعه   یك رابطه روی A گفته می‌شود. اگر R رابطه‌ای روی  A باشد و  می‌نویسیم aRb.

– اگر R رابطه‌ای روی A باشد، وارون R به ‌صورت  و متمم R به ‌صورت  نمایش داده می‌شود.

– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A بازتابی است یعنی:   

– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A تقارنی است یعنی: 

– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A ترایایی است یعنی:

– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A هم‌ارزی است یعنی، بازتابی، تقارنی و ترایایی است.

– اگر R رابطه‌ی هم‌ارزی روی مجموعه A باشد، به   كلاس هم‌ارزی a یا كلاس هم‌ارزی R تولید شده توسط a گوییم.

– فرض كنید U یك مجموعه‌ی مرجع ناتهی باشد. مجموعه‌ی توانی U را با P(U) نمایش می‌دهیم.

– برای هر ، متمم مجموعه‌ی X را با XC نشان می‌دهیم، كه به‌صورت UX تعریف می‌شود.

2-2-1- تعریف [1]

زوج  كه در آن  و  یك رابطه‌ی هم‌ارزی روی U است، یك فضای تقریب نامیده می‌شود.

3-2-1- تعریف [1]

فرض کنید  یک فضای تقریب دلخواه باشد، برای تعریف تقریب ناهموار، نگاشت  را تعریف می‌كنیم، با ضابطه‌‌ی:

 می باشد كه به‌ طوریكه  و  را تقریب ناهموار پایینی از X در  می‌نامیم و  را تقریب ناهموار بالایی از X در   می‌نامیم.

[1] . Zdislow Pawlak

[2] . Z. Bonikowaski

[3] . R. Biswas

[4] . S. Nanda

[5] . N. Kuroki

[6] . J. N. Mordeson

[7] . V. Leoreanu

[8] . D. Dubois

[9] . H. Prade

[10] . B. Davvaz