فصل حاضر به ارائه تعاریف و مفاهیمی می‌پردازد که در سراسر تحقیق مورد استفاده قرار می‌گیرند. ابتدا تعاریفی از آنالیز عددی[1] و درونیابی[2] ارائه می‌شود. سپس تعاریفی از معادلات دیفرانسیل[3] که به جهت تجزیه و تحلیل مسائل حساب تغییرات[4] به این عرصه وارد شده‌اند، صورت خواهند گرفت و به دنبال آن انواع ماتریس‌ها[5] مطالعه می‌شود. بعد از آن به مسئله حساب تغییرات و حل مثالهایی از این نوع مسئله، پرداخته می‌شود.

فصل دوم به مروری در خصوص تاریخچه و پیشینه‌ای از تحقیقات صورت گرفته اختصاص دارد. همچنین تاریخچه به کارگیری اسپلاین[6] در حل معادلات دیفرانسیل معرفی می‌گردد و در آخر تابع اسپلاین درجه سه غیرچند جمله‌ای[7] شرح داده می‌شود.

در فصل سوم ابتدا به تجزیه و تحلیل تابع اسپلاین درجه پنجم[8] غیرچندجمله‌ای پرداخته می‌شود و فرمول اسپلاین درجه پنجم غیرچندجمله‌ای به دست می‌آید و پس از آن آنالیز همگرایی[9] روش بحث می‌شود و سپس به محاسبه خطای[10] این نوع اسپلاین پرداخته می‌شود.

در نهایت، فصل آخر هم به حل عددی مسئله حساب تغییرات پرداخته می‌شود و همچنین برخی منابع به جهت مطالعه موضوعات مرتبط با تحقیق ارائه می‌شود که می‌تواند کمکی به شروع تحقیقات آینده باشد.

مطالب این فصل با توجه به منابع شماره33،30،21،19،14،13،12،11،10،9،8،7،6،5،3،2،1 ارایه شده است.

2-1- آنالیز عددی

آنالیز عددی الگوریتم حل مسئله در ریاضیات پیوسته (ریاضیاتی که بعد از ریاضیات گسسته است) را مورد مطالعه قرار می‌دهد. آنالیز

 عددی اساسا به مسائل مربوط به متغیرهای حقیقی و متغیرهای مختلط و نیز جبر خطی عددی به علاوه حل معادلات دیفرانسیل و دیگر مسائلی که از فیزیک و مهندسی مشتق می‌شود، می‌پردازد. تعدادی از مسائل در ریاضیات پیوسته دقیقاّ با یک الگوریتم حل می‌شوند که به روش‌های مستقیم حل مسئله معروف‌اند. برای مثال روش حذف گاوسی برای حل دستگاه معادلات خطی است و نیز روش سیمپلکس در برنامه ریزی خطی مورد استفاده قرار می‌گیرد. ولی روش مستقیم برای حل خیلی از مسائل وجود ندارد و ممکن است از روشهای دیگر مانند روش تکرارشونده استفاده شود. چون این روش می‌تواند در یافتن جواب مسئله موثرتر باشد.

تخمین خطاهای موجود در حل مسائل از مهمترین قسمت‌های آنالیز عددی است. این خطاها در روش‌های تکرارشونده وجود دارد. چون به هر حال جوابهای تقریبی بدست آمده با جواب دقیق مسئله، اختلاف دارد و یا وقتی که از روشهای مستقیم برای حل مسئله استفاده می‌شود خطاهایی ناشی از گرد کردن اعداد بوجود می‌آید. در آنالیز عددی می‌توان مقدار خطا را در خود روش که برای حل مسئله به کار می‌رود، تخمین زد.

الگوریتم‌های موجود در آنالیز عددی برای حل بسیاری از مسائل موجود در علوم پایه و رشته‌های مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرند. برای مثال از این الگوریتم‌ها در طراحی بناهایی مانند پل ها، در طراحی هواپیما، در پیش بینی آب و هوا، تهیه نقشه‌های جوی از زمین، تجزیه و تحلیل ساختار مولکول‌ها، پیدا کردن مخازن نفت، استفاده می‌شود. همچنین اکثر ابر رایانه‌ها به طور مداوم براساس الگوریتم‌های آنالیز عددی برنامه‌ریزی می‌شوند. به طور کلی، آنالیز عددی از نتایج عملی حاصل از اجرای محاسبات برای پیدا کردن روش‌های جدید برای تجزیه و تحلیل مسائل، استفاده می‌کند.

3-1- درونیابی

در آنالیز عددی، درونیابی یک روش ساختن نقاط فرض شده جدید از یک مجموعه مجزا از نقاط داده شده معلوم است. یک مسئله متفاوت که تقریباّ مربوط به درونیابی است، تقریبی از یک تابع پیچیده توسط یک تابع ساده است. انواع مختلفی از درونیابی در ریاضیات وجود دارد. برای مثال: درونیابی ثابت تکه‌ای[1]، درونیابی خطی[2]، درونیابی چندجمله‌ای[3]، درونیابی اسپلاین[4]، درونیابی بوسیله فرآیند گاوس.

1-3-1- درونیابی اسپلاین

درونیابی اسپلاین از چندجمله‌ای درجه پایین در هر بازه استفاده می‌کند و قطعه‌های چندجمله‌ای انتخاب می‌کند بطوریکه آنها، با همدیگر به طور یکنواخت متناسب باشند.

4-1- معادله دیفرانسیل

هر رابطه بین متغیر تابع و مشتقات متغیر تابع نسبت به متغیر یا متغیرهای مستقل را یک معادله دیفرانسیل می‌نامند.

1-4-1- معادله دیفرانسیل معمولی

اگر یک معادله دیفرانسیل فقط یک متغیر تابع و یک متغیر مستقل داشته باشد، معادله دیفرانسیل را معمولی گویند. بنابراین فرم کلی یک معادله دیفرانسیل معمولی به صورت زیر است:

2-4-1- مسئله مقدار مرزی مرتبه دوم

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم ،  ، با شرایط مرزی  را مسئله مقدار مرزی مرتبه دوم می‌نامیم.

[1] -Piecewise constant interpolation

[2] -Linear interpolation

[3] – Polynomial interpolation

[4] – Spline interpolation

[1]- Numerical Analysis

[2]- Interpolation

[3] – Differential equation

[4]- Calculus variation problems

[5]- Matrix

[6]- Spline

[7]- Cubic non-polynomial spline

[8]- Quintic non-polynomial spline

[9]- Convergence analysis

[10]- Error