:

در این پایان نامه دستگاه معادلات بیضوی تکین و تباهیده به فرم زیر را در نظر می گیریم

 (1. 1)                     

که در آن  یک دامنه کراندار با مرز هموار  می باشد  و توابع  که  برای . و نیز  بوده و همچنین توابع وزن  برای  . توابع   توابع وزن هستند اما توابع   توابع وزن قابل تغییر علامت می باشندو همچنین .

با استفاده از انواع روش های تغییراتی مثل روش مسیر کوهی، اصل تغییراتی ایکلند، اصل تغییراتی کلارک، نابرابری نیرنبرگ و…وجود تعداد نامتناهی جواب برای دستگاه (1. 1) را در یک فضای سوبولف وزن دار ثابت می کنیم.

فصل اول: تعاریف، مفاهیم و قضایای مقدماتی

در این فصل به معرفی مفاهیم ابتدایی که در سرتاسر این پایان نامه مورد استفاده قرار می گیرند، می پردازیم. ابتدا معادلات دیفرانسیل جزیی و برخی کاربردهای آن را معرفی می کنیم، و مروری گذرا بر فضاهای باناخ، هیلبرت،  و سوبولف و قضایای مرتبط به آنها خواهیم داشت و سپس عملگر بیضوی را تعریف می نماییم.

1-1- تعاریف و مفاهیم مقدماتی

تعریف 1. 1. 1 (معادله دیفرانسیل ):

هر معادله شامل یک متغیر وابسته و مشتقاتش نسبت به یک متغیر مستقل را معادله دیفرانسیل گویند. معادلات دیفرانسیل کاربرد زیادی در ریاضیات، فیزیک، مهندسی، اقتصاد و بسیاری از زمینه های دیگر علوم دارند.

تعریف 1. 1. 2 (معادله دیفرانسیل جزیی ):

  هر رابطه بین متغیرهای مستقل  و متغیر تابع  و مشتقات متغیر تابع نسبت به متغیرهای مستقل را یک معادله دیفرانسیل جزئی گویند. اگر  یک تابع چند متغیره باشد، مشتق مرتبه  نسبت به مولفه ی  را به صورت  نشان می دهیم.

هرگاه بزرگترین مرتبه مشتق ظاهر شده  باشد ، معادله دیفرانسیل از مرتبه  است. معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی را با علامت اختصاری PDE  نشان می دهند.

تعریف 1. 1. 3 (دامنه ):

فرض کنیم  فضای اقلیدسی – بعدی  با نقاط  که  باشد. در این صورت  را یک دامنه گوییم هرگاه باز و همبند باشد.

تعریف 1. 1. 4 [24] :

مجموعه همه توابع پیوسته روی  را با  نشان می دهیم. برای  ،  مجموعه توابعی هستند که همه مشتقات تا مرتبه ام آنها روی  پیوسته است.  کلاس همه توابعی هست که برای هر عدد طبیعی  متعلق به  باشد.

تعریف 1. 1. 5 [24] :

محمل یک تابع  روی  به صورت زیر تعریف می شود :

پس برای هر  ، اگر  ، آن گاه  ، همانطور که می دانیم (طبق قضیه هاینه برل ) مجموعه های بسته و کراندار در  فشرده می باشند، بنابراین اگر محمل  کراندار باشد می گوییم  دارای محمل فشرده است. فضای همه ی توابع پیوسته  که محمل فشرده دارند را با  نمایش می دهیم. به طور مشابه  مجموعه توابع پیوسته روی  می باشند که محمل آنها یک زیر مجموعه فشرده از  است. همچنین  مجموعه توابعی هستند که همه مشتقات تا مرتبه ام آنها روی  پیوسته بوده و محمل آنها زیر مجموعه فشرده از  می باشند.